Oscillateur harmonique

L'animation ci-dessus représente l'évolution temporelle d'un oscillateur harmonique placé dans une superposition linéaire d'états stationnaires. La valeur moyenne de l'énergie de l'état choisi est représentée par une ligne horizontale jaune. La position moyenne de la particule est représentée par un point bleu se déplaçant sur la courbe représentant l'énergie potentielle. En accord avec le théorème d'Ehrenfest, ce point suit les lois de la mécanique classique, ici une évolution sinusoïdale. La courbe en bas à gauche représente l'évolution temporelle de la probabilité de présence, qui présente bien une évolution périodique, la période étant celle de l'oscillateur. Enfin l'histogramme sur la partie droite représente les poids de la décomposition de l'état considéré sur les états propres de l'oscillateur harmonique. Il est possible de modifier les paramètres de l'état choisi de deux façons différentes. La première consiste à fixer directement les poids de la décomposition sur les états propres. Pour cela, il suffit de cliquer dans la zone de l'histogramme, sur la barre correspondant au poids que l'on veut modifier. En déplaçant la souris horizontalement, on peut alors modifier le poids associé. Le coefficient à l'instant t = 0, supposé réel, est simplement pris égal à la racine carrée de ce poids. Lorsqu'on relache la souris, les poids sont normalisés.

Par ailleurs, il est aussi possible de fixer l'énergie moyenne de la particule en déplaçant la ligne correspondante à l'aide de la souris en cliquant dans la zone représentant l'énergie potentielle. L'énergie moyenne peut être modifiée simplement en déplaçant verticalement la souris. Comme il existe une infinité d'états ayant la même valeur moyenne de l'énergie, on a choisi ici de placer le système dans un état particulier qu'on appelle état quasi-classique. Un tel état, habituellement noté |a >, présente les propriétés remarquables suivantes :

  • C'est un état propre de l'opérateur annihilation: a |a >=a |a >
  • Le produit des incertitudes sur la position et l'impulsion est égal à la limite inférieure imposée par la relation d'incertitude de Heisenberg: Dp Dx = hbar/2.
  • En conséquence, comme on peut le constater ci-dessus, la probabilité de présence est gaussienne. Dans la limite des grandes énergies, cet état tend vers l'état d'un oscillateur harmonique en mécanique classique.