De Physix.

Sommaire

1 Calcul de l'énergie du condensat
- 1.1 Energies cinétiques, potentielles et d'interaction
- 1.2 Physique quantique dans un référentiel en rotation
2 Régime de rotation rapide
- 2.1 L'énergie de Gross-Pitaevskii
- 2.2 Réduction au Lowest Landau Level
3 Voir aussi

Calcul de l'énergie du condensat

Energies cinétiques, potentielles et d'interaction

La description du condensat de Bose-Einstein procède de l'observation suivante : on a affaire a N particules indiscernables et dans le même état. Dès lors, chaque particule est décrite par la même fonction d'onde $\varphi _{i}\left( \vec{r}_{i} \right)$ , et le système est décrit par la fonction d'onde globale :

$\varphi \left( \vec{r}_{1},..,\vec{r}_{n} \right)=\prod\limits_{i=1}^{n}{\varphi _{i}\left( \vec{r}_{i} \right)}$

Le piégeage du condensat par l'intermédiaire d'un champ magnétique $\vec{B}$ revient à le plonger dans le potentiel harmonique $V = \frac{1}{2}m\omega^{2}$ , où $m$ désigne la masse des particules et $ω$ la "pulsation de piégeage". Dans ces conditions, le hamiltonien du système est donné par :

$\widehat{H_{0}^{N}} = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\widehat{p_{i}}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\widehat{r_{i}}^{2}\right)+\frac{1}{2}g\sum_{i\neq j}\delta\left(\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right)$

où, le premier terme représente la somme des énergies cinétiques de chaque particule, le deuxième l'énergie potentielle et le troisième l'interaction entre les différentes particules, particules, dont on considère qu'elles n'interagissent que si elles sont très proches (ce qui justifie l'introduction d'une fonction de DIRAC $δ$ ).

L'énergie du système se décompose sous la forme :

$E_{0}^{N}\left(\varphi\right) = \int_{R^{3N}}\varphi^{*}\widehat{H_{0}^{N}}\varphi = E_{cin}^{N}\left(\varphi\right) + E_{pot}^{N}\left(\varphi\right) + E_{interaction}^{N}\left(\varphi\right)$

avec

$E_{cin}^{N}\left(\varphi\right) = \sum_{i=1}^{N}\int_{R^{3N}}\varphi^{*}\frac{\widehat{p_{i}}^{2}}{2m}\varphi = \frac{N\hbar^{2}}{2m}\int_{R^{3}}|\nabla\varphi_{1}|^{2}d^{3}r$

$E_{pot}^{N}\left(\varphi\right) = \sum_{i=1}^{N}\int_{R^{3N}}\varphi^{*}\frac{1}{2}m\omega^{2}\varphi = \frac{1}{2}mN\omega^{2}\int_{R^{3}}r^{2}|\varphi_{1}|^{2}d^{3}r$

$E_{interaction}^{N}\left(\varphi\right) = \frac{g}{2}\sum_{i\neq j}\varphi^{*}\delta\left(\vec{r_{i}}-\vec{r_{j}}\right)\varphi = g\frac{N(N-1)}{2}\int_{R^{3}}|\varphi_{1}|^{4}d^{3}r$

Physique quantique dans un référentiel en rotation

On a besoin, pour décrire les phénomènes quantiques dans un référentiel en rotation autour de $(O z)$ , d'introduire un nouvel opérateur. Il s'agit de la composante selon z du moment cinétique orbital des particules $\widehat{L_{z}}$ .

L'hamiltonien dans le système en rotation se réécrit

$\widehat{H_{\Omega}^{N}} = \widehat{H_{0}^{N}} - \Omega\sum_{i=1}^{N}\widehat{L_{i,z}}$

soit

$E_{\Omega}^{N}\left(\varphi\right) = E_{0}^{N}\left(\varphi\right) + E_{rot}^{N}\left(\varphi\right)$

avec

$E_{rot}^{N}\left(\varphi\right) = - \Omega\sum_{i=1}^{N}\int_{R^{3N}}\varphi^{*}\widehat{L_{i,z}}\varphi = - \Omega N\int_{R^{3}}\varphi^{*}\widehat{L_{1,z}}\varphi$

De plus,

$\widehat{L_{z}} = \widehat{x}\widehat{p_{y}}-\widehat{y}\widehat{p_{x}}$

donc

$E_{rot}^{N}\left(\varphi\right) = - iN\Omega\int_{R^{3}}(y\varphi^{*}\partial_{x}\varphi - x\varphi^{*}\partial_{y}\varphi)$

Ce qui se réécrit :

$E_{rot}^{N}\left(\varphi\right) = - \frac{iN\Omega}{2}\int_{R^{3}}(y\varphi^{*}\partial_{x}\varphi + y\varphi^{*}\partial_{x}\varphi - x\varphi^{*}\partial_{y}\varphi - x\varphi^{*}\partial_{y}\varphi)$

Par intégration par parties des deuxième et quatrième termes :

$E_{rot}^{N}\left(\varphi\right) = - \frac{iN\Omega}{2}\int_{R^{3}}(y\varphi^{*}\partial_{x}\varphi - y\varphi\partial_{x}\varphi^{*} - x\varphi^{*}\partial_{y}\varphi + x\varphi\partial_{y}\varphi^{*})$

Soit

$E_{rot}^{N}\left(\varphi\right) = - \frac{iN\Omega}{2}\int_{R^{3}}(-y\vec{e_{x}} + x\vec{e_{y}}).(\varphi\nabla\varphi^{*} - \varphi^{*}\nabla\varphi)$

Finalement

$E_{rot}^{N}\left(\varphi\right) = - \frac{iN}{2}\int_{R^{3}}(\vec{\Omega} \times \vec{r}).(\varphi\nabla\varphi^{*} - \varphi^{*}\nabla\varphi)$

Régime de rotation rapide

L'énergie de Gross-Pitaevskii

Pour une vitesse de rotation assez grande, le condensat prend une forme applatie, et se trouve proche du plan z = 0. On peut donc raisonnablement mener toute l'étude mathématique en deux dimensions. L'équation précédente se réécrit :

$E_{\Omega}^{N}\left(\varphi\right) = \frac{N\hbar^{2}}{2m}\int_{R^{2}}|\nabla\varphi_{1}|^{2}d^{2}r \;\; + \;\; \frac{1}{2}mN\omega^{2}\int_{R^{2}}r^{2}|\varphi_{1}|^{2}d^{2}r \;\; + \;\; g\frac{N(N-1)}{2}\int_{R^{2}}|\varphi_{1}|^{4}d^{2}r \;\; - \;\; \frac{iN}{2}\int_{R^{2}}(\vec{\Omega} \times \vec{r}).(\varphi\nabla\varphi^{*} - \varphi^{*}\nabla\varphi)d^{2}r$

En identifiant R² à C

$E_{\Omega}^{N}\left(\varphi\right) = \frac{N}{2}\int_{C}\left(|\frac{\hbar}{\sqrt{m}}\nabla\varphi_{1}(z)-i\Omega \frac{\sqrt{m}}{\hbar}z^{\bot}\varphi_{1}(z)|^{2} \;\; + \;\; m(\omega^{2}-\frac{\Omega^{2}}{\hbar^{2}})|z|^{2}|\varphi_{1}(z)|^{2} \;\; + \;\; g(N-1)|\varphi_{1}(z)|^{4}\right)L(dz)$

où on identifie le couple $(\;x\; ;\; y\;)$ avec le complexe $z = x + i y$ , et le terme $z^{\bot}$ représente le vecteur $(\;-y\; ;\; x\;)$ et $L (d z) = d x d y$ . C'est l'énergie de Gross-Pitaevskii.

En normalisant cette expression et avec l'approximation N-1=N (N>>1), on obtient finalement

$\bar{E}\left(\bar{\varphi}\right) = \int_{C}\left(|\bar{\nabla}\bar{\varphi}(\bar{z})-i\bar{\Omega} \bar{z}^{\bot}\bar{\varphi}(\bar{z})|^{2} \;\; + \;\; (1-\bar{\Omega}^{2})|\bar{z}|^{2}|\bar{\varphi}(\bar{z})|^{2} \;\; + \;\; gN|\bar{\varphi}(\bar{z})|^{4}\right)\bar{L}(d\bar{z})$

Réduction au Lowest Landau Level

On recherche maintenant une fonction d'onde qui minimise l'énergie de Gross-Pitaevskii. Pour, on se restreint à un espace dans lequel on peut en déterminer une approximation, le problème dans le cas général étant délicat.

On se place dans la premier espace propre de l'opérateur $A = |\nabla - i\Omega z^{\bot}|^{2}$ associé à la valeur propre $Ω$ . C'est le Lowest Landau Level (LLL). On obtient :

$E_{LLL}\left(\bar{\varphi}\right) = \bar{\Omega}\;\; + \;\;\int_{C} (1-\bar{\Omega}^{2})|\bar{z}|^{2}|\bar{\varphi}(\bar{z})|^{2} \;\; + \;\; gN|\bar{\varphi}(\bar{z})|^{4}$

L'expression peut se simplifier :

$\epsilon_{LLL}\left(\bar{\varphi}\right) = \frac{E_{LLL}\left(\bar{\varphi}\right)-\bar{\Omega}}{1-\bar{\Omega}^{2}} = \int_{C}|\bar{z}|^{2}|\bar{\varphi}(\bar{z})|^{2} \;\; + \;\; \Lambda|\bar{\varphi}(\bar{z})|^{4}$

où $\Lambda=\frac{gN}{1-\bar{\Omega}^{2}}$

Dans le cadre du LLL, les fonctions mises en jeu s'écrivent $f(z)e^{-|z|^{2}/2}$ où f est une fonction analytique. On cherche les états de plus basse énergie, ce qui revient à chercher les zéros de f qui permet d'obtenir l'énergie minimale. Puisque toute fonction analytique est limite uniforme sur tout compact d'une suite de polynômes et le condensat est concentré dans une région bornée de l'espace (le terme en $e^{-|z|^{2}}$ de la fonction d'onde indique que pour |z| assez grand, la densité de matière devient négligeable), le problème est donc désormais de chercher le polynome P (à coefficients complexes)qui minimise

$\epsilon(P) = \int_{C}|z|^{2}|P(z)|^{2}e^{-|z|^{2}} \;\; + \;\; \Lambda|P(z)|^{4}e^{-2|z|^{2}}$

sous la contrainte $\int_{C}|P(z)|^{2}e^{-|z|^{2}} =1$

De tel minima ne sont rigoureusement atteint que par des fonctions analytiques composées d'un nombre infinies de termes. Les figures du site ne représentent que des polynômes qui minimisent cette énergie sur un espace de dimension finie.