Orbitales Atomiques - Visualisation par surfaces d'isodensité
De Physix.
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Description
Nous proposons ici une visualisation des orbitales par le tracé de la surface d'isovaleur de la fonction de densité associée à la fonction d'onde de l'orbitale.
Programmation
Algorithme
Les algorithmes implémentés sont décrits sur la page Algorithmes du Marching Square et Marching Cube
Les orbitales complexes ont une dépendance vis-à-vis de φ uniquement en termes de facteur de phase, donc la densité de probabilité ne dépend pas de φ. C'est pourquoi nous utiliserons l'algorithme du Marching Squares pour calculer le contour d'isodensité dans les plan méridiens et ensuite, par rotation, autour de l'axe z. La couleur sera choisie en fonction de la phase.
Les orbitales réelles sont calculées avec l'algorithme du Marching Cube. Les fonctions d'onde des orbitales réelles sont réelles donc nous colorions en bleu les isosurfaces positives et en rouge les négatives.
Les surfaces délimitent un volume. Puisque la fonction d'onde au carré est une densité de probabilité, le volume maximal vaut 1. Ainsi, le volume délimité par les surfaces d'isodensité est compris entre 0 et 1.
Ce que nous voulons pour le tracé, c'est d'avoir par exemple 80% de la densité de probabilité, c'est a dire un volume valant 0,80. Pour cela il faut ajuster la valeur de "l'isodensité", i.e. choisir le α tel que 
Voici quelques valeurs des volumes en fonction du seuil :
Applet Java
Exemples
Le choix des représentants
Quelques définitions...
Commençons par rappeller que le changement entre variables cartésiennes et variables sphériques implique la relation suivante sur les densités de probabilité :
On retrouve la matrice Jacobienne du changement de base 
qui vérifie la relation des égalités de volumes élémentaires dx.dy.dz = J.dr.dθ.dφ
Ensuite il nous faut introduire les polynômes de Legendre et de Laguerre :
Polynômes de Legendre :
et leurs dérivées 
Polynômes de Laguerre :
et leurs dérivées 
On définira également la constante suivante :
Constante de normalisation :
La représentation complexe
La fonction d'onde complexe :![\psi_{n,\ell,m}\left( r,\theta,\phi\right) = C_{n,\ell,m} . \left[ r^{\ell} . P_{n+\ell}^{\left( 2\ell+1\right) }\left( r\right) . e^{-\frac{r}{2}}\right] . \left[ {\left( \sin \theta\right) }^{\vert m\vert} . L_{\ell}^{\left( \vert m\vert\right)} \left( \cos \theta\right)\right] . \left[ e^{i m \phi}\right]](/physix/wiki/images/math/f/a/c/facacf0b065cedfe7cc33da19013d2ef.png)
La représentation réelle
La fonction d'onde réelle :![\psi_{n,\ell,m}\left( r,\theta,\phi\right) = C_{n,\ell,m} \cdot \left[ r^{\ell} \cdot P_{n+\ell}^{\left( 2\ell+1\right) }\left( r\right) \cdot e^{-\frac{r}{2}}\right] \cdot \left[ {\left( \sin \theta\right) }^{\vert m\vert} \cdot L_{\ell}^{\left( \vert m\vert\right)} \left( \cos \theta\right)\right] \cdot\left[ {\left\{ \begin{array}{ll}
\sin\left( m \phi\right) & \mbox{si } m > 0 \\
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \mbox{si } m = 0 \\
\cos\left( m \phi\right) & \mbox{si } m < 0
\end{array} \right. }\right]](/physix/wiki/images/math/4/9/8/49808905971f4ddc1e7277303124a1ff.png)
Les premières orbitales atomiques
Orbitales complexes
à refaire
Orbitales réelles
