Propagation of a free wavepacket

Propagation of a free wavepacket

 

      \(t\) = \(m a^2/\hbar\)         \(\Delta x\) = \(a\)         \(\Delta p\) = \(\hbar/a\)         \(\Delta x \Delta p\) = \(\hbar\)         Wavepacket shape         Reference frame         Starting time

Mode d'emploi

Ce simulateur représente l'évolution d'un paquet d'ondes libre se propageant selon l'axe \(x\). La fonction d'onde \(\psi(x,t)\) est représentée dans le panneau inférieur, tandis que sa transformée de Fourier \(\varphi(p,t)\) est représentée dans le panneau supérieur. La phase est encodée selon le code couleur représenté en haut à gauche. Il est possible d'ajuster l'impulsion moyenne \(\langle p \rangle\) et la largeur \(\Delta p\) en déplaçant à l'aide de la souris les points correspondants dans le panneau supérieur. On peut ainsi vérifier que plus \(\Delta p\) est grand, plus l'étalement est rapide, les grandes impulsions (associées aux plus petites valeurs de la longueur d'onde) se trouvant naturellement sur le front avant du paquet. Il est également possible de choisir la forme du paquet d'ondes initial. On peut remarquer que seul le paquet d'ondes gaussien reste gaussien, alors que les autres types de paquets d'ondes changent de forme lors de la propagation. Néanmoins, dans tous les cas, le paquet d'ondes dans l'espace des \(x\) finit par prendre la forme de la transformée de Fourier \(\varphi(p,t)\), comme pour la diffraction de Fraunhofer. Associée à la technique de temps de vol, cette observation justifie que la quantité \(|\varphi(p,t)|^2\) puisse être considérée comme la distribution de probabilité de l'impulsion \(p\). NB : L'amplitude des fonctions représentées est ajustée pour occuper l'ensemble de l'échelle verticale, ce qui explique que la norme de \(\psi(x,t)\) ne reste pas constante quand on change la largeur de \(\varphi(p,t)\).

Méthode de calcul

Afin de résoudre l'équation de Schrödinger (pour une particule libre), \[i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2},\tag{1}\] on passe dans l'espace de Fourier, \[i\hbar\frac{\partial \varphi(p,t)}{\partial t} = \frac{p^2}{2m} \varphi(p,t),\tag{2}\] où l'on peut immédiatement écrire la solution \[\varphi(p,t) = \varphi(p, 0) \exp\left( - i \frac{p^2 t}{2 m \hbar} \right).\tag{3}\] Pour chaque valeur de \(t\), le simlulateur calcule simplement \(\varphi(p,t)\) en ajoutant la phase parabolique à la fonction initiale \(\varphi(p,0)\), ce dont on peut voir l'effet dans le panneau supérieur. La fonction d'onde \(\psi(x,t)\) est alors calculée à l'aide d'une transformée de Fourier rapide (FFT) inverse.
Remarquons que le simulateur calcule en fait une transformée de Fourier discrète (ou série de Fourier), ce qui revient à supposer que le paquet d'ondes se déplace dans un monde périodique. Ainsi, si on laisse la simulation durer assez longtemps, le paquet d'ondes qui était parti à droite revient par la gauche. Si on attend encore plus longtemps, l'étalement du paquet d'ondes est tel que différentes parties du paquet d'ondes ayant parcouru un nombre différent de périodes interfèrent entre elles. Les formes très compliquées ainsi obtenues constituent un artefact et n'ont évidemment rien à voir avec la propagation réelle d'une paquet d'ondes dans un univers non périodique.

Analogie avec la diffraction d'un faisceau lumineux

L'équation de Schrödinger est parfaitement analogue à l'équation d'onde d'un faisceau lumineux dans l'approximation paraxiale, à condition de remplacer le temps \(t\) par la coordonnée \(z\) repérant l'axe de propagation du faisceau. Il est donc possible de transposer la théorie de la diffraction à la propagation d'un paquet d'ondes. En effet, prenons la transformée de Fourier inverse de l'éq. 3. Comme le membre de droite de l'éq. 3 est un simple produit, la transformée de Fourier inverse donnera le produit de convolution entre \(\psi(x,0)\) et la fonction \[g(x) = {\cal F}^{-1} \exp\left( - i \frac{p^2 t}{2 m \hbar} \right) = e^{-i\pi/4} \sqrt{\frac{m}{t}} \exp\left(i \frac{m x^2}{2\hbar t}\right),\tag{4}\] où nous avons utilisé l'expression de la transformée de Fourier d'une gaussienne dans la limite où la partie réelle du paramètre gaussien devient nulle. Nous obtenons donc \[\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x',0) g(x-x') dx' = e^{-i\pi/4} \frac{m}{\sqrt{2\pi\hbar t}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x',0) \exp\left(i \frac{m (x-x')^2}{2\hbar t}\right)dx'\tag{5}\] qui est équivalent à l'intégrale obtenue pour la diffraction d'un faisceau lumineux en appliquant le principe de Huygens-Fresnel dans l'approximation de Fresnel (qui correspond à l'approximation paraxiale). Ce produit de convolution donne lieu à la forme évolutive compliquée observée dans la simulation ci-dessus (sauf pour un paquet d'ondes gaussien car le produit de convolution entre deux gaussiennes est toujours une gaussienne). Cependant, lorsque \(t\) devient beaucoup plus grand que \(m \Delta x_0^2/(2\hbar)\), la phase de \(g(x-x')\) associée au terme en \(x'^2\) devient négligeable, de sorte qu'on peut alors écrire \[\psi(x,t) \approx e^{-i\pi/4} \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar t}} \exp\left(i \frac{m x^2}{2\hbar t}\right) \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x',0) \exp\left( - i \frac{m x x'}{\hbar t}\right) dx' = e^{-i\pi/4} \sqrt{\frac{m}{t}} \exp\left(i \frac{m x^2}{2\hbar t}\right) \varphi\left( p = \frac{mx}{t}, 0\right).\tag{6}\] Cette approximation est l'équivalent de l'approximation de Fraunhofer et donne simplement la transformée de Fourier du paquet d'ondes initial. Dans cette limite, la distribution de probabilité \(|\psi(x,t)|^2\) est donc proportionnelle à \(|\varphi(p,0)|^2\), avec le facteur d'échelle \(p = mx/t\). Comme la quantité \(x\) est la distance parcourue par la particule (puisque dans cette limite la largeur initiale \(\Delta x_0\) peut être négligée), on peut dire que \(x/t\) représente la vitesse qui serait mesurée dans une expérience de temps de vol. Ainsi, l'éq. 6 montre que \(|\varphi(p,0)|^2\) représente bien la densité de probabilité associée à l'impulsion \(p\), définie ici comme le produit de la masse par la vitesse de la particule.

Getting started

This simulator shows the evolution of a 1D free wavepacket by plotting the complex wavefunction \(\psi(x,t)\) (lower panel) and its Fourier transform \(\varphi(p,t)\) (upper panel). The phase is encoded using the color code shown in the upper left corner. You can change the average impulsion \(\langle p \rangle\) and the width \(\Delta p\) by dragging with the mouse the corresponding hotspots in the upper panel. You can also choose among a few possible shapes. Note that only the gaussian wavepacket remains gaussian, whereas other kinds of wavepackets change shape upon propagation. Yet, for all shapes, the wavepacket in x space eventually takes the shape of the Fourier transform \(|\varphi(p,t)|\), as in Fraunhofer diffraction. Associated with the time-of-flight technique, this fact justifies that \(|\varphi(p,t)|^2\) can be considered as the probability distribution of the impulsion \(p\). NB : The vertical scale is adjusted so as to provide an optimal representation of the functions, which explains why the apparent norm of \(\psi(x,t)\) doesn't remain constant when you change the width of \(\varphi(p,t)\).

How it's done

In order to solve Schrödinger's equation (for a free particle), \[i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2},\tag{1}\] we write it in Fourier space \[i\hbar\frac{\partial \varphi(p,t)}{\partial t} = \frac{p^2}{2m} \varphi(p,t),\tag{2}\] where the solution simply reads \[\varphi(p,t) = \varphi(p, 0) \exp\left( - i \frac{p^2 t}{2 m \hbar} \right).\tag{3}\] For each time value \(t\), the simulator simply computes \(\varphi(p,t)\) by adding the parabolic phase to the initial condition \(\varphi(p,0)\), as you can see in the upper panel. The wavefunction \(\psi(x,t)\) is then computed using an inverse Fast Fourier Transform (FFT) and plotted in the lower panel.
Note that the simulator actually computes a discrete Fourier transform (i.e. a Fourier series), not a continuous Fourier transform. This amounts to assuming that the wavepacket lives in a periodic word. As a consequence, if you let the simulation run a long time after the wavepacket has left from the right, you will see it enter the screen from the left. If you wait even longer, the spreading of the wavepacket will result in the interference between different parts of the initial wavepacket, having travelled a different number of periods. This will result in complicated shapes unrelated with the real propagation of a wavepacket in a non-periodic universe.

Analogy with the diffraction of a light beam

Schrödinger's equation is fully analogous with the wave equation of a light beam in the paraxial wave approximation, by simply replacing time \(t\) with the \(z\) coordinate along the beam propagation axis. It is thus possible to transpose diffraction theory to the propagation of a free wavepacket. Indeed, let us take the inverse Fourier transform of eq. 3. As the right hand side of eq. 3 is a mere product, the inverse Fourier transform will yield the convolution product between \(\psi(x,0)\) and the inverse Fourier transform \[g(x) = {\cal F}^{-1} \exp\left( - i \frac{p^2 t}{2 m \hbar} \right) = e^{-i\pi/4} \sqrt{\frac{m}{t}} \exp\left(i \frac{m x^2}{2\hbar t}\right),\tag{4}\] where we have used the expression of the Fourier transform of a gaussian in the limit where the real part of the gaussian parameter goes to zero. We thus obtain \[\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x',0) g(x-x') dx' = e^{-i\pi/4} \frac{m}{\sqrt{2\pi\hbar t}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x',0) \exp\left(i \frac{m (x-x')^2}{2\hbar t}\right)dx'\tag{5}\] which is equivalent to the diffraction integral obtained when applying the Huygens-Fresnel principle in the Fresnel approximation (i.e. the paraxial approximation). This convolution product results in the complicated evolving shape observed in the above simulation (except for a gaussian wavepacket as the convolution product between two gaussian is still a gaussian). However, when \(t\) becomes much larger than \(m \Delta x_0^2/(2\hbar)\), the phase of \(g(x-x')\) associated with the term in \(x'^2\) becomes negligible, so that we can write \[\psi(x,t) \approx e^{-i\pi/4} \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar t}} \exp\left(i \frac{m x^2}{2\hbar t}\right) \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x',0) \exp\left( - i \frac{m x x'}{\hbar t}\right) dx' = e^{-i\pi/4} \sqrt{\frac{m}{t}} \exp\left(i \frac{m x^2}{2\hbar t}\right) \varphi\left( p = \frac{mx}{t}, 0\right).\tag{6}\] This approximation is the equivalent of the Fraunhofer approximation and simply yields the Fourier transform of the initial wavepacket. In this limit, the probability distribution \(|\psi(x,t)|^2\) is thus proportional to \(|\varphi(p,0)|^2\), with the scaling factor \(p = mx/t\). The quantity \(x\) is the distance travelled by the particle (as in this limit \(x\) is much greater than the initial width \(\Delta x_0\), which can thus be neglected). Therefore, \(x/t\) represents the speed measured in a time of flight experiment, and eq. 6 thus proves that \(|\varphi(p,0)|^2\) is indeed the probability density for the impulsion \(p\) of the particle.

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