Quantification de l'énergie des états liés dans un puits de potentiel

L'applet ci-dessus représente les états liés de l'Hamiltonien d'une particule se déplaçant dans un puits de potentiel à une dimension. On suppose que le potentiel \(V(x)\) tend vers zéro lorsque \(|x|\) tend vers l'infini. Les menus de la barre d'outil permettent de choisir le type de potentiel (puits simple, puits double ou puits double symétrique), la forme utilisée pour chaque puits (gaussienne, hypergaussienne ou rectangulaire) ainsi que le mode d'affichage. Il est également possible d'ajuster la position, la largeur et la profondeur de chacun des deux puits à l'aide de la souris.

Considérons un état lié \(\psi(x)\), d'énergie \(E\) négative. Dans la partie très à gauche du puits de potentiel, on peut considérer que \(V(x)\approx 0\), de sorte que l'équation aux valeurs propres se ramène à \(\frac{d^2\psi}{dx^2} - \kappa^2 \psi(x) = 0\)où l'on a posé \(\kappa = \sqrt{2m|E|}/\hbar\). La solution générale de cette équation s'écrit \(\psi(x) = A e^{\kappa x} + B e^{-\kappa x},\)où \(A\) et \(B\) sont deux coefficients complexes. D'un point de vue mathématique, l'espace propre est donc un espace vectoriel de dimension 2, engendré par les fonctions \(\exp(\kappa x)\) et \(\exp(-\kappa x)\). La valeur propre est donc deux fois dégénérée. Toutefois, la solution \(\exp(-\kappa x)\) n'est pas acceptable physiquement car elle diverge quand \(x\to-\infty\). On est donc contraint de poser \(B=0\), ce qui nous permet d'en conclure que la valeur propre \(E\) d'un état lié n'est pas dégénérée. La fonction propre suffisamment à gauche du puits de potentiel est toujours proportionnelle à \(\exp(\kappa x)\). Connaissant la valeur de la fonction et de sa dérivée à gauche du puits, il existe alors une unique solution de l'équation \(\hat H\psi = E\psi\). Cette fonction peut être représentée en choisissant l'affichage de la fonction d'essai à l'aide du menu correspondant dans la barre d'outil. En ajustant la valeur de l'énergie à l'aide de la souris, on peut constater que la fonction obtenue diverge presque toujours lorsque \(x\to+\infty\). Ce n'est que pour certaines valeurs bien précises de l'énergie que l'on obtient une solution physiquement acceptable, tendant vers zéro à la fois lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) et vers \(-\infty\). C'est là l'origine de la quantification de l'énergie des états liés.