Potential step

On considère une marche de potentiel de hauteur \(V_0\). Les valeurs propres \(E\) supérieure à \(V_0\) sont dégénérés deux fois, mais on ne représente ici que la fonction propre correspondant à une particule venant de la gauche et étant partiellement transmise par la marche. Les énergies \(E\) inférieures à \(V_0\) sont non dégénérées en raison de la contrainte associé à une décroissance exponentielle dans la barrière.

We consider here a potential step of height \(V_0\). Energy values \(E\) greater than \(V_0\) are twice degenerate, but only the eigenstate corresponding to a particle incident from the left and partially transmitted and reflected is shown below. For an energy smaller than \(V_0\), mathematical solutions associated with a diverging exponential in the barrier are unphysical, leaving only the exponentially decaying solution. Hence associated energy values are non degenerate for \(E\) smaller than \(V_0\).

Dans le cas d'un paquet d'ondes d'énergie moyenne \(\langle E\rangle\) incident sur une barrière de hauteur \(V_0\) inférieure à \(\langle E\rangle\), une fraction du paquet d'ondes sera transmise tandis que le reste du paquet d'ondes sera réfléchi. On peut remarquer sur la vidéo ci-dessous que l'impulsion du paquet d'ondes transmis, de l'ordre de \(\sqrt{2m(\langle E\rangle-V_0)}/\hbar\), est plus faible que celle du paquet d'ondes réfléchi, qui reste égale à \(\sqrt{2m\langle E\rangle}/\hbar\). Il en va de même pour la vitesse du paquet d'ondes transmis.

For an incident wavepacket of average energy \(\langle E\rangle\) greater than the barrier height \(V_0\), a fraction of the incident wavepacket will be transmitted while the other part will be reflected. As can be seen in the video below, the impulsion of the transmitted wavepacket, of the order of \(\sqrt{2m(\langle E\rangle-V_0)}/\hbar\), is smaller than that of the reflected wavepacket, whose magnitude remains equal to \(\sqrt{2m\langle E\rangle}/\hbar\). Similarly, the speed of the transmitted wavepacket is smaller, as can be seen by the distance travelled at the end of the simulation.

A l'inverse, si la hauteur de la barrière est supérieure à \(E\), on observe une onde évanescente dans la barrière mais le paquet d'ondes est finalement totalement réfléchi par la barrière.

Conversely, if the barrier height is greater than \(E\), an evanescent wave can be observed inside the barrier while the wavepacket is being reflected, but the wavepacket is eventually totally reflected by the barrier.

Enfin, on considère maintenant le cas d'une marche descendante, l'énergie \(E\) du paquet d'ondes étant ici très légèrement supérieure à la hauteur de la marche. Ceci revient à dire que l'énergie cinétique du paquet d'ondes incident est très faible devant la hauteur de la marche. Dans ce cas, on observe qu'une fraction significative du paquet d'ondes est réfléchie.

Finally, we now consider the case of a downward step, with the initial energy of the wavepacket being barely larger than the step height. In other words, the incident wavepacket is very slow, with a kinetic energy much smaller than the step height. In this case, we observe that part of the wavepacket is transmitted, with the expected increase in momentum (hence a much smaller wavelength). But a significant part of the wavepacket is also reflected. In the limit of a vanishing initial kinetic energy, it can be calculated that such a step would result in a total reflection of the incident wavepacket.