Superposition de deux états de Rydberg circulaires

\(n\)

\(|\beta|^2\) \(\langle r \rangle =\) nm \(\cal P\) Number of segments (meridian) Number of segments (parallel)

L'applet ci-dessus représente la superposition de deux états de Rydberg circulaires consécutifs, soit \(|\psi\rangle = \alpha |n, n-1, n-1\rangle + \beta |n+1, n, n\rangle\), avec \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\). Il est possible de choisir la valeur de \(n\), ainsi que la probabilité \(|\beta|^2\) de trouver le système dans l'état \(|n+1, n, n\rangle\). Les autres paramètres sont similaires à ceux utilisés pour la représentation des états propres de l'hydrogène. L'applet permet également d'observer l'évolution temporelle d'un tel état.

Quand vous changez la valeur de \(n\), le graphe est automatiquement mis à l'échelle pour offrir une représentation appropriée de l'état considéré, dont la taille \(\langle r\rangle\) est affichée dans la barre d'outil. De même, l'échelle de temps est adaptée à la fréquence de rotation de la superposition considérée.

En faisant varier \(|\beta|^2\), il est possible de passer continuement d'un état de Rydberg (à gauche) au suivant (à droite) en passant par la superposition entre ces deux états (au centre).

\(|11,10,10\rangle\)
\(n=11, |\beta|^2=0\)

\(|\psi\rangle\)
\(n=11, |\beta|^2=0.5\)

\(|12,11,11\rangle\)
\(n=11, |\beta|^2=1\)

Notions théoriques

Compte tenu de la dépendance en \(\exp(i m \varphi) = \exp(i(n-1)\varphi)\) de la fonction d'onde \(\psi_{n,\ell,m}(r,\theta,\varphi) = R_{n,\ell}(r) F_{n,\ell}(\theta) \exp(i m\varphi)\), deux états de Rydberg consécutif sont en opposition de phase pour \(\varphi = \pi\), alors qu'ils sont en phase pour \(\varphi = 0\). Ceci explique l'interférence destructive observée pour \(\varphi = \pi\) et l'orbitale en forme de croissant qui en résulte.

L'évolution temporelle de la superposition considérée obéit à la relation \(|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha e^{-iE_{n}t/\hbar} |n,n-1,n-1\rangle+\beta e^{-iE_{n+1}t/\hbar}|n+1,n,n\rangle \right),\) ce qui correspond à une fonction d'onde \(\psi(r,\theta,\varphi,t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha R_{n,n-1}(r) F_{n-1,n-1}(\theta) e^{(n-1) i \varphi} e^{-iE_{n}t/\hbar} + \beta R_{n+1,n}(r) F_{n,n}(\theta) e^{n i \varphi} e^{-iE_{n+1}t/\hbar} \right) =\frac{e^{(n-1) i \varphi} e^{-iE_{n}t/\hbar}}{\sqrt{2}} \left( \alpha R_{n,n-1}(r) F_{n-1,n-1}(\theta) + \beta R_{n+1,n}(r) F_{n,n}(\theta) e^{ i (\varphi-\omega t)} \right),\) où \(\omega = (E_{n+1}-E{n})/\hbar\). On en déduit que la densité de probabilité \(|\psi(r,\theta,\varphi,t)|^2 = |\psi(r,\theta,\varphi-\omega t)|^2\) tourne à la fréquence \(\omega/(2\pi)\), comme observé sur la simulation.

Applications

De telles superpositions entre états de Rydberg ont notamment été mises à profit pour effectuer une mesure quantique non destructive du nombre de photons présents dans une cavité supraconductrice, grâce à la proximité entre la fréquence de la cavité, 51.1 GHz, et la fréquence de rotation du dipôle tournant \(\frac{\omega}{2\pi} = - \frac{E_I}{2\pi\hbar}\left( \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{E_I}{2\pi\hbar} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \approx 50.9\) GHz pour \(n = 50\).
C. Guerlin, J. Bernu, S. Deléglise, C. Sayrin, S. Gleyzes, S. Kuhr, M. Brune, J.-M. Raimond, S. Haroche, Progressive field-state collapse and quantum non-demolition photon counting, Nature 448, 889 (2007)
Equipe Electrodynamique quantique en cavité (LKB - Collège de France)

The above applet provides a 3D representation of the superposition of two consecutive circular Rydberg states, namely \(|\psi\rangle = \alpha |n, n-1, n-1\rangle + \beta |n+1, n, n\rangle\), with \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\). The user can adjust the value of \(n\) as well as the probability \(|\beta|^2\) that the atom is in state \(|n+1, n, n\rangle\). The other parameters are similar to those encountered in the Hydrogen orbital page. The applet also provides the time evolution of such a superposition state.

When you change the value of \(n\), the scale is automatically adjusted to offer a suitable representation of the state, whose size \(\langle r\rangle\) is displayed in the toolbar. Similarly, the time scale is also adjusted to the rotation frequency of the superposition.

By varying \(|\beta|^2\), it is possible to go continuously from a circular Rydberg state (left) to the next one (right) going through the linear superposition (center).

\(|11,10,10\rangle\)
\(n=11, |\beta|^2=0\)

\(|\psi\rangle\)
\(n=11, |\beta|^2=0.5\)

\(|12,11,11\rangle\)
\(n=11, |\beta|^2=1\)

Background

Due to the \(\exp(i m \varphi) = \exp(i(n-1)\varphi)\) dependence of the wavefunction \(\psi_{n,\ell,m}(r,\theta,\varphi) = R_{n,\ell}(r) F_{n,\ell}(\theta) \exp(i m\varphi)\), two consecutive Rydberg states are \(\pi\) shifted for \(\varphi = \pi\), while they are in phase for \(\varphi = 0\). This explains the destructive interference observed for \(\varphi = \pi\) and the resulting banana shape of the wavepacket.

The time evolution of the superposition reads \(|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha e^{-iE_{n}t/\hbar} |n,n-1,n-1\rangle+\beta e^{-iE_{n+1}t/\hbar}|n+1,n,n\rangle \right),\) which corresponds to a wavefunction \(\psi(r,\theta,\varphi,t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha R_{n,n-1}(r) F_{n-1,n-1}(\theta) e^{(n-1) i \varphi} e^{-iE_{n}t/\hbar} + \beta R_{n+1,n}(r) F_{n,n}(\theta) e^{n i \varphi} e^{-iE_{n+1}t/\hbar} \right) =\frac{e^{(n-1) i \varphi} e^{-iE_{n}t/\hbar}}{\sqrt{2}} \left( \alpha R_{n,n-1}(r) F_{n-1,n-1}(\theta) + \beta R_{n+1,n}(r) F_{n,n}(\theta) e^{ i (\varphi-\omega t)} \right),\) with \(\omega = (E_{n+1}-E{n})/\hbar\). The probability density \(|\psi(r,\theta,\varphi,t)|^2 = |\psi(r,\theta,\varphi-\omega t)|^2\) thus rotates at frequency \(\omega/(2\pi)\), as observed in the simulation.

Applications

Such superpositions between two circular Rydberg states have been used for a quantum non-demolition measurement of the number of photons in a superconducting cavity, thanks to the proximity between the cavity resonance frequency, 51.1 GHz, and the frequency of the rotating dipole \(\frac{\omega}{2\pi} = - \frac{E_I}{2\pi\hbar}\left( \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{E_I}{2\pi\hbar} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \approx 50.9\) GHz for \(n = 50\).
C. Guerlin, J. Bernu, S. Deléglise, C. Sayrin, S. Gleyzes, S. Kuhr, M. Brune, J.-M. Raimond, S. Haroche, Progressive field-state collapse and quantum non-demolition photon counting, Nature 448, 889 (2007)
Team Quantum cavity electrodynamics (LKB - Collège de France)