Perturbation method

Perturbation method


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Le graphe ci-dessus représente en fonction du paramètre \(\lambda\) les niveaux d'énergie d'un système décrit par l'hamiltonien \(\hat H(\lambda) = \hat H_0+\lambda \hat H_1\). La position des niveaux d'énergie de \(\hat H_0\) peut être modifiée à l'aide de la souris, ce qui permet d'illustrer le fait que le couplage entre deux niveaux est d'autant plus efficace que les énergies non perturbées sont proches l'une de l'autre. Les courbes en rouge représentent le résultat d'une diagonalisation exacte, tandis que les courbes en bleu représentent le résultat obtenu dans le cadre de la méthode des perturbations, au second ordre pour des niveaux non dégénérés et au premier ordre pour des niveaux dégénérés. Les éléments de matrice de \(\hat H_1\) sont de l'ordre de \(w\), dont la valeur est représentée par une double flèche verticale sur la figure. L'hamiltonien \(\hat H_0\) est supposé invariant par rotation, tandis que la perturbation \(\hat H_1 \) est supposée invariante par rotation autour de l'axe \(z\), ce qui est pris en compte pour annuler certains des éléments de matrice de \(\hat H_1\). Ce problème pourrait par exemple correspondre à un atome placé dans un champ magnétique orienté selon l'axe \(z\).
Cette simulation permet d'illustrer le fait que la méthode des perturbations donne un résultat convenable dès lors que la perturbation (ici \(\lambda w\)) est très inférieure à l'écart en énergie entre les niveaux non perturbé.
The graph above shows the variation as a function of \(\lambda\) of the energy levels of a system governed by the hamiltonian \(\hat H(\lambda) = \hat H_0+\lambda \hat H_1\). The position of the energy levels of \(\hat H_0\) can be adjusted using the mouse, which allows to illustrate the fact that the coupling between two levels is more efficient when the energy separation between these two levels is samll. The red curves show the result of an exact diagonalization of \(\hat H(\lambda)\), whereas the blue curves show the results obtained using perturbation theory, at second order in case of a non degenerate level and at firs order in case of a degenerate level. The matrix elements of \(\hat H_1\) are of the order of \(w\), whose value is shown above with a vertical double arrow. The hamiltonien \(\hat H_0\) is assumed to be rotation invariant, while the perturbation \(\hat H_1 \) is assumed to be invariant by rotations around the \(z\) axis, which results in selection rules that are taken into account to cancel some of \(\hat H_1\) matrix elements. This situation corresponds for example to the case of an atom placed in a magnetic field aligned along the \(z\) axis.
This simulation illustrates the fact that perturbation theory yields a good result as long as the perturbation (here \(\lambda w\)) is much smaller than the spacing between the unperturbed energy levels.

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