Perturbation method

\(\hat H = \hat H_0 + \lambda \hat H_1\)

\(\hat H_0\) energy levels

Number of levels

Degeneracies

Matrix elements of \(\hat H_1\), using \(\hat H_0\) eigenbasis
(in units of \(w\))

Show perturbation result Show exact diagonalization

Cette applet permet d'illustrer la méthode des perturbations indépendante du temps. On considère un système décrit par un hamiltonien \(\hat H_0\) dont les états propres sont supposés connus, soit \(\hat H_0 |n\rangle = E_n |n\rangle\). On applique alors au système une perturbation \(\hat W = \lambda \hat H_1\), où \(\lambda\) est un nombre réel positif et \(\hat H_1\) est une observable dont les éléments de matrice sont de l'ordre d'une quantité \(w\) (représentée par une double flèche ci-dessus). La méthode des perturbations permet de donner une valeur approchée des niveaux d'énergie, valable dans le cas où l'écart entre niveaux \(|E_n-E_m|\) est grand devant \(\lambda w\).
Dans le cas où la valeur propre \(E_n\) est non dégénérée, on a au second ordre en \(\lambda\) \(E_n'(\lambda) = E_n + \lambda \langle n | \hat H_1 | n \rangle + \lambda^2 \sum_{m\neq n} \frac{|\langle n | \hat H_1 | m \rangle|^2}{E_n-E_m}\)
Dans le cas où la valeur propre \(E_n\) est dégénérée, on obtient la solution au premier ordre en \(\lambda\) en diagonalisant la restriction de \(\lambda \hat H_1\) au sous-espace propre de \(\hat H_0\) correspondant.

Le panneau ci-dessus à gauche permet de spécifier le nombre de niveaux d'énergie de \(\hat H_0\), ainsi que la dégénérescence de chaque niveau (dans la limite d'un total de 10 états). Il est également possible de spécifier les éléments de matrice (supposés réels) du terme perturbatif \(\hat H_1\).

Le graphe ci-dessus à droite représente en fonction du paramètre \(\lambda\) les valeurs propres de l'hamiltonien \(\hat H(\lambda)\). Les valeurs propres \(E_n\) de \(\hat H_0\) peuvent être ajustées à l'aide de la souris, ce qui permet d'illustrer le fait que le couplage entre deux niveaux est d'autant plus efficace que les énergies non perturbées sont proches l'une de l'autre. Les courbes en rouge représentent le résultat d'une diagonalisation exacte, tandis que les courbes en bleu représentent le résultat obtenu dans le cadre de la méthode des perturbations, au second ordre pour des niveaux non dégénérés et au premier ordre pour des niveaux dégénérés. Cette simulation permet d'illustrer le fait que la méthode des perturbations donne un résultat convenable dès lors que la perturbation (ici \(\lambda w\)) est très inférieure à l'écart en énergie entre les niveaux non perturbé.

The graph above shows the variation as a function of \(\lambda\) of the energy levels of a system governed by the hamiltonian \(\hat H(\lambda) = \hat H_0+\lambda \hat H_1\). The position of the energy levels of \(\hat H_0\) can be adjusted using the mouse, which allows to illustrate the fact that the coupling between two levels is more efficient when the energy separation between these two levels is samll. The red curves show the result of an exact diagonalization of \(\hat H(\lambda)\), whereas the blue curves show the results obtained using perturbation theory, at second order in case of a non degenerate level and at firs order in case of a degenerate level. The matrix elements of \(\hat H_1\) are of the order of \(w\), whose value is shown above with a vertical double arrow. This simulation illustrates the fact that perturbation theory yields a good result as long as the perturbation (here \(\lambda w\)) is much smaller than the spacing between the unperturbed energy levels. The left panel allows to adjust the number of levels and degeneracies of the eigenvalues of the unperturbed Hamiltonian, \(\hat H_0\). It is also possible to edit the matrix elements of the perturbation term, \(\hat H_1\), which are assumed to be real numbers.

Background

When the eigenvalue \(E_n\) of the main Hamiltonian \(\hat H_0\) is non degenerate, perturbation theory allows to write the perturbed energy level, up to second order in \(\lambda\), as \(E_n'(\lambda) = E_n + \lambda \langle n | \hat H_1 | n \rangle + \lambda^2 \sum_{m\neq n} \frac{|\langle n | \hat H_1 | m \rangle|^2}{E_n-E_m}\)
When the eigenvalue \(E_n\) is degenerate, perturbation theory at first order consists of diagonalizing the restriction of \(\hat H_1\) to the corresponding eigenspace.