Spherical harmonics

# Harmoniques sphériques

 $$\ell$$ $$m$$ Plot type Sphère Surface complexe Surface réelle       Number of segments (meridian) 25 50 100 200       Number of segments (parallel) 50 100 150 200

L'applet ci-dessus permet de représenter l'harmonique sphérique $$Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)$$, fonction des coordonnées sphériques $$\theta$$ et $$\varphi$$, pour des valeurs de $$\ell$$ et $$m$$ spécifiées à l'aide des contrôles situées à gauche de la barre d'outil. Il est possible de changer l'angle de vue et le facteur de zoom à l'aide de la souris. Trois type de représentation sont proposés, comme montré dans l'exemple ci-dessous pour $$Y_{5,2}(\theta,\varphi)$$.

• Dans le mode "Sphère" (à gauche), la fonction complexe $$Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)$$ est directement représentée à la surface de la sphère, le module étant encodé sur la luminosité tandis que la phase est encodée sur la couleur.
• Dans le mode "Surface complexe" (au centre), la distance à l'origine de la surface correspond au module de $$Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)$$, tandis que la phase est à nouveau encodée à l'aide de la couleur.
• Dans le mode "Surface réelle" (à droite), c'est en fait une base alternative qui est utilisée, les fonctions $$Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$ et $$Y_{\ell,-|m|}(\theta,\varphi)$$ étant remplacées par les deux fonctions réelles $${\rm Re}\,Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$ et $${\rm Im}\,Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$, qui engendrent le même espace vectoriel de dimension 2. Le signe de ces fonctions réelles est alors encodé sur la couleur (turquoise pour des valeurs positives et rouge pour des valeurs négatives). Remarquons que, dans ce cas, ces fonctions réelles ne sont plus des fonctions propres de l'observable $$\hat L_z$$. Par convention, une valeur positive (resp. négative) de $$m$$ sur la liste déroulante permet de représenter la partie réelle (resp. imaginaire) de $$Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$.
Finally, you can adjust the number of segments used to compute the surface along meridians and parallels. A greater number of segments provides a higher-quality surface but with a slower update rate.

#### Background

Spherical harmonics $$Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)$$ are the common eigenvectors of the two commuting observables $$\hat L^2$$ and $$\hat L_z$$, where $$\hat {\vec L}$$ is the angular momentum operator. We thus have $\hat L^2 Y_{\ell,m}(\theta,\varphi) = \ell(\ell+1)\hbar^2 Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)\qquad\qquad\mbox{and}\qquad\qquad\hat L_z Y_{\ell,m}(\theta,\varphi) = m \hbar Y_{\ell,m}(\theta,\varphi),$ where $$\ell\in \mathbb{N}$$ and $$m$$ is an integer such that $$|m|\le\ell$$. In spherical coordinates, these two operators read $\hat L^2 = -\hbar^2\left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \right)$ and $\hat L_z = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial \varphi},$ so that common eigenfunctions read $Y_{\ell,m}(\theta,\varphi) = F_{\ell,m}(\theta) \exp(im\varphi).$ It can be shown that the real function $$F_{\ell,m}(\theta)$$ has exactly $$\ell-|m|$$ nodes in the interval $$]0,\pi[$$, as can be checked using the above applet. Also evident in the representation is the wrapping of $$|m|$$ period along a parallel when $$\varphi$$ varies from $$0$$ to $$2\pi$$, due to the $$m\varphi$$ phase factor.

#### Gallery

The first spherical harmonics are shown below using the three available representations.

The above applet provides a 3D representation of spherical harmonics $$Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)$$ as a function of spherical coordinates $$\theta$$ and $$\varphi$$, for specified values of $$\ell$$ and $$m$$. The mouse can be used to change the point of view and the zooming factor. Three plot types are available, as shown in the example below for $$Y_{5,2}(\theta,\varphi)$$.

• In the "Sphere" mode (left), the complex function is directly plotted on a sphere, the absolute value being encoded on the brightness and the argument (phase) on the color.
• In the "Complex surface" mode (center), the distance of the plotted surface from the origin is equal to the absolute value of $$Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)$$, while the phase is again color encoded.
• In the "Real surface" mode (right), an alternate basis is used where $$Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$ and $$Y_{\ell,-|m|}(\theta,\varphi)$$ are replaced with the two real functions $${\rm Re}\,Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$ and $${\rm Im}\,Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$, spanning the same 2D vectorial space. The color then encodes the sign, with cyan for positive values and red for negative values. Note that, in this case, these real functions are no longer eigenfunctions of $$\hat L_z$$. By convention, positive (resp. negative) $$m$$ values on the dropdown box allow to plot the real (resp. imaginary) part of $$Y_{\ell,|m|}(\theta,\varphi)$$.
Finally, you can adjust the number of segments used to compute the surface along meridians and parallels. A greater number of segments provides a higher-quality surface but with a slower update rate.

#### Background

Spherical harmonics $$Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)$$ are the common eigenvectors of the two commuting observables $$\hat L^2$$ and $$\hat L_z$$, where $$\hat {\vec L}$$ is the angular momentum operator. We thus have $\hat L^2 Y_{\ell,m}(\theta,\varphi) = \ell(\ell+1)\hbar^2 Y_{\ell,m}(\theta,\varphi)\qquad\qquad\mbox{and}\qquad\qquad\hat L_z Y_{\ell,m}(\theta,\varphi) = m \hbar Y_{\ell,m}(\theta,\varphi),$ where $$\ell\in \mathbb{N}$$ and $$m$$ is an integer such that $$|m|\le\ell$$. In spherical coordinates, these two operators read $\hat L^2 = -\hbar^2\left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \right)$ and $\hat L_z = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial \varphi},$ so that common eigenfunctions read $Y_{\ell,m}(\theta,\varphi) = F_{\ell,m}(\theta) \exp(im\varphi).$ It can be shown that the real function $$F_{\ell,m}(\theta)$$ has exactly $$\ell-|m|$$ nodes in the interval $$]0,\pi[$$, as can be checked using the above applet. Also evident in the representation is the wrapping of $$|m|$$ period along a parallel when $$\varphi$$ varies from $$0$$ to $$2\pi$$, due to the $$m\varphi$$ phase factor.

#### Gallery

The first spherical harmonics are shown below using the three available representations.

 $$\ell=0$$ $$\ell=1$$ $$\ell=2$$ $$\ell=3$$ $$\ell=4$$ $$\ell=5$$ $$\ell=6$$ $$m=-6$$ $$m=-5$$ $$m=-4$$ $$m=-3$$ $$m=-2$$ $$m=-1$$ $$m=0$$ $$m=1$$ $$m=2$$ $$m=3$$ $$m=4$$ $$m=5$$ $$m=6$$
 $$\ell=0$$ $$\ell=1$$ $$\ell=2$$ $$\ell=3$$ $$\ell=4$$ $$\ell=5$$ $$\ell=6$$ $$m=-6$$ $$m=-5$$ $$m=-4$$ $$m=-3$$ $$m=-2$$ $$m=-1$$ $$m=0$$ $$m=1$$ $$m=2$$ $$m=3$$ $$m=4$$ $$m=5$$ $$m=6$$
 $$\ell=0$$ $$\ell=1$$ $$\ell=2$$ $$\ell=3$$ $$\ell=4$$ $$\ell=5$$ $$\ell=6$$ $$m=-6$$ $$m=-5$$ $$m=-4$$ $$m=-3$$ $$m=-2$$ $$m=-1$$ $$m=0$$ $$m=1$$ $$m=2$$ $$m=3$$ $$m=4$$ $$m=5$$ $$m=6$$

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