Polarisation d'un photon unique

Source lumineuse Taux de photons Hz \(\theta\) ° \(\alpha\) °

L'applet ci-dessus simule la mesure de l'état de polarisation de photons individuels avec un prisme de Rochon. A l'aide de la bare d'outils, vous pouvez

Choisir le type de source (soit une véritable source de photons individuels soit un laser fortement atténué),
Ajuster le taux de photons émis par la source,
Ajuster l'angle \(\theta\) de la direction de polarisation (supposée linéaire) de la source,
Ajuster l'angle \(\alpha\) du prisme de Rochon, permettant de choisir les deux polarisations orthogonales mesurées par les deux photo-détecteurs.

Vous pouvez également modifier la position du point d'observation à l'aide de la souris (clic gauche, molette, ou shift + clic gauche).

Prisme de Rochon

Le prisme de Rochon est un exemple de polariseur à deux voies. Il s'agit en fait d'un assemblage de deux prismes constitués d'un matériau biréfringent. L'axe optique du matériau est par exemple aligné le long de l'axe de propagation pour le premier prisme et perpendiculaire à la fois à l'axe de propagation et à la verticale pour le second prisme, comme représenté ci-dessous.

Ainsi, un faisceau polarisé selon la verticale verra la direction de son champ électrique toujours perpendiculaire à l'axe optique du cristal, de sorte que l'indice de réfraction perçu par le faisceau sera l'indice ordinaire dans chacun des deux prismes. Ainsi le faisceau ne sera pas réfracté à l'interface entre les deux prismes et se propagera en ligne droite, vers le photo-détecteur appelé A dans la simulation et correspondant à la polarisation verticale. A l'inverse, un faisceau polarisé selon la direction horizontale verra son champ électrique polarisé le long de l'axe optique pour le second prisme. Pour un tel faisceau, l'indice sera donc l'indice extra-ordinaire dans le second prisme, mais toujours l'indice ordinaire pour le premier prisme. Le faisceau sera donc réfracté à l'interface à 45° entre les deux prismes, puis à nouveau réfracté en sortant du second prisme, de sorte qu'il sera dirigé vers le photo-détecteur appelé B, que l'on peut associer à une polarisation horizontale. De manière générale, un prisme de Rochon permettra donc de cliver un faisceau lumineux selon deux directions, associées respectivement aux polarisations verticale et horizontale.

Loi de Malus

En optique classique, les composantes du champ électrique selon les deux canaux de détection sont respectivement proportionnelles à \(\cos(\theta-\alpha)\) et \(\sin(\theta-\alpha)\), ce qui donne des transmissions proportionnelles à \(\cos^2(\theta-\alpha)\) et \(\sin^2(\theta-\alpha)\).. On retrouve cette loi en optique quantique, avec des probabilité de détection \[{\cal P}_A = \left|\langle \theta|\alpha\rangle\right|^2 = \cos^2(\theta-\alpha)\] et \[{\cal P}_A = \left|\langle \theta|\alpha+\frac{\pi}{2}\rangle\right|^2 = \sin^2(\theta-\alpha).\] On peut vérifier que les histogrammes mesurés permettent de retrouver ces deux probabilités lorsque le nombre de photons accumulés est suffisant. En particulier, dans le cas où \(\alpha = \theta\) (resp. \(\alpha = \theta+\pi/2\)), les photons sont détectés avec certitude sur le canal A (resp. B).

The above applet simulates the measurement of the polarization state of individual photons using a Rochon prism. Using the toolbar, you can:

Choose the type of source (either a genuine single-photon source or a highly attenuated laser),
Adjust the rate of photons emitted by the source,
Adjust the angle \(\theta\) of the (assumed linear) polarization direction of the source,
Adjust the angle \(\alpha\) of the Rochon prism, allowing you to choose the two orthogonal polarizations measured by the two photodetectors.

You can also change the position of the observation point using the mouse (left-click, scroll, or shift + left-click).

Rochon Prism

The Rochon prism is an example of a two-way polarizer. It is actually an assembly of two prisms made of a birefringent material. The optical axis of the material is, for example, aligned along the propagation axis for the first prism and perpendicular to both the propagation axis and the vertical for the second prism, as shown below.

Thus, a beam polarized along the vertical will have its electric field direction always perpendicular to the optical axis of the crystal, so the refractive index experienced by the beam will be the ordinary index in both prisms. As a result, the beam will not be refracted at the interface between the two prisms and will propagate in a straight line toward the photodetector labeled A in the simulation, corresponding to vertical polarization (when \(\alpha=0\)). Conversely, a beam polarized along the horizontal direction will have its electric field polarized along the optical axis for the second prism. For such a beam, the refractive index will be the extraordinary index in the second prism but will remain the ordinary index for the first prism. The beam will therefore be refracted at the 45° interface between the two prisms and again refracted upon exiting the second prism, so it will be directed toward the photodetector labeled B, which can be associated with horizontal polarization (when \(\alpha = 0\)). In general, a Rochon prism will split a light beam into two directions, associated with vertical and horizontal polarizations, respectively.

Malus's Law

In classical optics, the components of the electric field along the two detection channels are respectively proportional to \(\cos(\theta - \alpha)\) and \(\sin(\theta - \alpha)\), which gives transmissions proportional to \(\cos^2(\theta - \alpha)\) and \(\sin^2(\theta - \alpha)\).

This law is also found in quantum optics, with detection probabilities given by:

\[ {\cal P}_A = \left|\langle \theta|\alpha\rangle\right|^2 = \cos^2(\theta - \alpha) \]

and \[ {\cal P}_B = \left|\langle \theta|\alpha + \frac{\pi}{2}\rangle\right|^2 = \sin^2(\theta - \alpha). \]

You can verify that the measured histograms allow these two probabilities to be retrieved when a sufficient number of photons has been accumulated. In particular, when \(\alpha = \theta\) (or \(\alpha = \theta + \pi/2\)), photons are detected with certainty on channel A (or B, respectively).